f(x)を移動させます

f(x)=Σ1/n^x をATN座標上を移動させ、0と1の間に持ってきます。この式を求めてみると、項数がきわめて面白い動きをしていることに気が付きます。法則があると思いますが、それを明らかにするのは容易ではありません。どの程度が明らかになったかをここに記録しておきます。

この新しいf(x)は、xを0の方から1に近づけると次第にf(x)=0に近づきます。その近傍で成り立つ式を求めると、以下のような形で展開しています。

m=1/(1-x) とします。すると、
f(x)=(1/4)^m+3/2*(1/9)^m+1*(1/16)^m+5/2*(1/25)^m+0+7/2*(1/49)^m+1*(1/64)^m+9/4*(1/81)^m+....

これだけ求めると、すでにはっきりした法則が見えてきます。すべて (1/a)^m という形になっていますが、その時の a はすべて整数の２乗形です。しかも、2、3、4、5と並んでいます。6は見あたりませんが、項数が0ですから、隠れているだけです。その次に、7、8、9と続いていますから、その後も、10、11、12、13、14と続くと予想されます。実際、計算するとそのとおりになっています。

これだけ簡単な法則ならいいのですが、項数の方は単純ではなさそうです。4、つまり2の項数は1、3の項数は3/2、4の項数は1、5の項数は5/2、と続きます。その後の項数を並べて見ても、法則があるかどうかは明らかではありません。

まずは、項数を並べてみましょう。

1,3/2,1,5/2,0,7/2,1,9/4
0,11/2,-3/2,13/2,0,0,1,17/2,-9/4,19/2
-5/2,0,0,23/2,-6,25/4,0,27/8,-28/8,29/2
-30/4,31/2,1,0,0,0,-36/8,37/2,0,0,
-40/8,41/2,-42/4,43/2,-44/8,-45/8,0,47/2,-9/2,49/4,
-50/8,0,-52/8,54/2,-54/8,0,-56/8,0,0,59/2
-60/8,61/2,0,-63/8,1,0,-66/4,67/2,-68/8,0
-70/4,71/2,-72/16,73/2,0,-75/8,-76/8,0,-78/4,79/2
-15/2

80まで並べてみると、法則がひとつふたつ明らかになります。素数のところではすべて、素数/2となっています。また、2の累乗ではすべて1となっています。また、分母はすべて、2、4、8となっています。

さらに詳細に分析しますと、因数分解（整数）と項数が密接な関係を持っていることが判ります。たとえば、12の項数は-3/2ですが、12=2*2*3となりますので、因数が3つあります。そこで、2^3にあわせて書き換えますと、-12/8となります。このように、nを因数分解したときの因数の数をｔとすると、nの項数はすべてa*n/2^tの形になります。先に明らかになっている素数の場合も、2の累乗の場合もこの法則に合致しています。

この法則にあわせて、aの値だけを抽出して並べてみると、次のようになります。

1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,-1,1,0,0,1,1,-1,1,-1,
と、2から20まで計算したところ、1、-1、0、ばかり出てきます。このまま３つの要素だけなら考えやすいのですが、さらに計算しますと、例外が発生します。

21から60まで並べると、
0,0,1,-2,1,0,1,-1,1,-2,1,1,0,0,0,-2,1,0,0,-2,1,-2,1,-1,-1,0,1,-3,1,-1,0,-1,1,-1,0,-2,0,0,1,-2
となります。
24のところで初めて2が登場します。その後も、時々2が現れるだけでなく、48では3も登場しました。つまり、法則はそう単純でないことが判ります。

少なくとも、0の所はすべてa*bと因数分解できますので、a*bは0と確定しました。
a^2*bと因数分解できるところはすべて-1です。
9が9/4、27が27/8、49が49/4ですから、a^2、a^3、a^4と分解できるところはすべて1となっていることが判ります。a*b*cと分解されるのが30=2*3*5なのですが、これが-2になります。
24=2^3*3で、a^3*b形であり、この時は-2です。
36=2^2*3^2ですから、a^2*b^2形であり、この場合は-2となっています。
48=2^4*3で、a^4*b形は初出です。これは-3です。

では、a^2*b*cはどうなっているか？a*b*c*dはどうか？と調べてゆけばよいわけです。
この段階ですでに法則が明らかになるなら、計算せずに済むのですが、この段階では法則は思いつきません。やむなく、実際に計算してみました。

a^2*b*cの代表は、60ですが、これは-2となっていました。
a*b*c*dの最小数は210です。これは0となっていました。

次に検討すべきは、a^5、a^4*b、a^3*b^2、a^3*b*c、a^2*b^2*c、a^2*b*c*d、a*b*c*d*eですが、このうち、a^5はすでに1であることが判っています。
a^4*bの最小数は48で、-3となっています。
a^3*b^2の最小数は72で、-2です。どうしてこれが-2なのか？これをどうやって推測するかが問題です。
a^3*b*cの最小数は120で、0となっています。どうして0なのか？普通の推理では出てきません。
a^2*b^2*cの最小数は180で、2となっています。
a^2*b*c*dは、420で、8となっています。
a*b*c*d*eは、2310で、これを計算するのに苦労しましたが、16となっていました。

さて、そろそろ計算の限界が見え始めましたが、それでも法則なるものは掴めません。a^6は1。a^5*bはある程度推測できます。a^2*b、a^3*b、a^4*bで、0,-1,-2,-3 と並んでいますから、次は-4であろうと容易に推測できます。事実、これは-4となりました。
a^4*b^2は、144で、-1です。
a^4*b*cは、240で、4となります。

このように、法則があることを思わせるにもかかわらず、いまだ法則そのものは掴めないと言うのが現状です。今後、a*b*c*d*e*fまで計算するとなると、30030ですから、ちょっと面倒なことになります。

このあたりで法則を推定できて良いはずなのですが、私の直感力では歯が立ちません。誰か見つけてくれないでしょうか。2310までは計算してあります。