1/f(x)の移動形

f(x)=Σ1/n^r として、1/f(x)を求めた後、これをATN座標で右上の枠に移動させた形のf(x)の式を求めてみました。xが無限大になる近傍で成り立つ式です。

f(x)=2*2^x-2*(4/3)^x-1+2*(8/9)^x-2*(4/5)^x+2*(2/3)^x-2*(16/27)^x-2*(4/7)^x+....
と、一応、登場する数はすべて有理数の範囲に入ることが判りました。別に計算が楽になるわけでもなく、たいした発見でもありませんが、a^x の aを観察してみると、隣り合う aの数がすべて (k-1)/kを掛けた形になっていることに気が付きました。

2、4/3、1、8/9、4/5、2/3、16/27、4/7....　と並んでいますが、(4/3)/2=2/3　ですし、(1/(4/3))=3/4 ですし、次の (8/9)/1=8/9　はいいとして、その次の (4/5)/(8/9)=9/10 や、(2/3)/(4/5)=5/6 を見ると、これは偶然ではないことが判ります。かなり先まで計算してみましたが、例外がありませんので、驚きました。こういう奇妙な現象があるのですね。面白いですね。

8/15、4/9と並んでいる所がありました。これは例外だろうと思ったのですが、なんと約分するとちゃんと(k-1)/kの形になりました。(4/9)/(8/15)=15/18　15/18=5/6 です。あまりにうまく出来すぎているような気がするほどです。

それ以外には、いまのところ法則らしきものは見つかりません。


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以上は、数年前に判ったことです。２００３年１１月２２日にアップする内容は、上記の説明を修正し、さらに発展させたものになります。


2、4/3、1、8/9、4/5、2/3、16/27、4/7....　の数列が(k-1)/kの法則の元にあると述べましたが、これは間違っていました。３０番目くらいまで計算したところ、法則の破れが見つかりました。３０ほども進んでから、法則が無くなるとは、非常に不思議な気がしましたが、これが現実と言うことです。人間の単純な予測が、いかに容易に破られるかの良い例ではないでしょうか。

非常にがっかりしましたが、しかし、せっかく項目計算プログラムを作ったので、それで、さらに先まで計算してみることにしました。すると、別の法則があることを発見しました。こちらの方が重要かもしれません。

f(x)=2*2^x-2*(4/3)^x-1+2*(8/9)^x-2*(4/5)^x+2*(2/3)^x-2*(16/27)^x-2*(4/7)^x+....　において、a(p/q)^x となる形が現れますが、a=2においては、2/1,2/3,2/5,2/7,2/9...と、分母にすべての奇数が並んでいることが判ります。a=4においては、4/3,4/5,4/7,4/11...となり、a=2の場合とほとんど同じです。なお、f(x)には-1という単独項目もありますので、これを忘れてはなりません。p=1,q=1においてはa=-1で、これp=1の時は、以外の項目はありません。

さて、a=8のときは、8/(3*3),8/(3*5),8/(3*7),8/(3*9)...という項目はすべて含まれます。また、8/(5*3),8/(5*5)....も含まれます。また、同じように、8/(7*3),8/(7*5),8/(7*7),...もあります。
16/(3*3*3),16/(3*3*5),16/(3*3*7),16/(3*3*9).... となるのですが、この場合も、16/(a*b*c)において、1以外のすべての奇数が登場します。
32/(a*b*c*d) においても同じく、1以外のすべての奇数の組み合わせです。これをそのまま、64,128,256....と考えていくと、f(x)式のすべての項数が見つかります。この点はプログラムを作って検証してみたので、かなり確実に一致していると言えます。

さて、a(p/q)^x のaの値ですが、これも綺麗な法則の元にあります。ただ、綺麗とは言うものの、すべての数字がすでに計算上、見つかっているわけではありません。その法則の全貌を捉えたわけでもありません。しかし、何らかの法則があることは確実です。

aを決定しているのはpとqの値です。プラスマイナスは、pが2,8,32,128...の場合がプラス、4,16,64,256...の場合がマイナスです。qを素因数分解した結果がq1^r1,q2^r2,q3^r3,q4^r4...と並んだとしましょう。このとき、pとr1,r2,r3..が一致すると、aも一致することが計算上明らかになりました。そこで、aの値をp(r1,r2,r3...)と表記することにします。つまり、a=p(r1,r2,r3,...) です。

すでに明らかになっている事例を使って説明すると、f(x)で、-2*(4/5)^xという項目があります。ここで、a=-2ですが、q=5で、これを素因数分解するとq=5^1と見ることが出来ます。つまり、a=p(r1,r2..)ですから、a=4(1)ということになります。ですから、4(1)=-2が確定します。これを元にすると、(4/7)^xも4(1)ですから、a=-2となることが判ります。つまり、qが素数の場合、すべてa=-2となるのです。これは計算上確かめられています。

もう少し複雑な例を説明しておきます。項目だけを並べた表を載せておきます。a,p,q,a,p,q...と並んでいます。

2,2,1,-2,4,3,-1,1,1,2,8,9,-2,4,5,2,2,3,-2,16,27,-2,4,7,
4,8,15,-4,4,9,2,2,5,2,32,81,4,8,21,-2,4,11,-6,16,45,
2,8,25,-2,4,13,6,8,27,2,2,7,-6,4,15,-2,64,243,-6,16,63,
4,8,33,8,32,135,-2,4,17,4,8,35,2,2,9,-6,16,75,-2,4,19,
4,8,39,-8,16,81,-6,4,21,2,2,11,14,8,45,2,128,729,-2,4,23,
（以下略）

この中で、２行目の一番目に4,8,15という項目があります。この意味は、a=4,p=8,q=15ということです。15=3*5ですから、a=8(1,1)であり、この結果は計算上a=4と求められています。すると、8(1,1)となるすべての項目でa=4となることになります。たとえば、p=8,q=21という項目があるはずです。21=3*7ですから、8(1,1)となります。これは２行目の中程に見つかりますが、ここでもa=4となっているのが判ります。これはすべての項目で成り立つ法則です。ですから、一度8(1,1)であれ、8(2,1)であれ、一つが計算されると、他を計算する必要はなくなるのです。

残った問題は、8(1,1)などの素因数の組み合わせは無限にあることです。これをすべて計算で解明するには時間が掛かります。ただ、よく見ると、この並び方にも法則があることが判ってきます。今のところ、ある程度しか判っていませんが、さらに計算を続けると、判ってくるように感じられます。

2(1)や、2(1,1),2(2),などはすべてa=2です。

4(1)=-2,4(2)=-4,4(3)=-6,4(4)=-8...となります。それゆえ、4(r)=-2*rであることが判ります。
4(1,1)=-6,4(2,1)=-19,4(3,1)=-14,4(4,1)=-18...ですから、4(r,1)はすべて計算可能です。
4(2,2)=-16,4(3,2)=-22　までは計算終了しました。この先はまだ未定です。
4(1,1,1)=-14,4(2,1,1)=-22 までは計算終了しました。


8(1)は値がありません。8(2)=2,8(3)=6,8(4)=12,8(5)=20...と並びます。ですから、8(r)=r*(r-1)であることが判ります。
8(1,1)=4,8(2,1)=14,8(3,1)=30,8(4,1)=52...ですから、この続きは計算できます。
8(2,2)=38,8(1,1,1)=24などは判っていますが、法則を見つけるためにはもう少し先まで計算しなければなりません。ただ、法則（数次にわたる階差数列）があることは容易に予測できます。


16(3)=-2,16(4)=-8...となるわけで、式は複雑になりますが、計算は可能です。
16(2,1)=-6,16(3,1)=-26,16(4,1)=-68,16(5,1)=-140,...も計算可能です。
これ以外の16については、さらに計算してみるつもりです。


32についても、同じことで、32(4)=2から始まって、二項定数が並びます。
64(5)=-2で、その続きは、計算可能です。

このように、ある程度計算すれば、その続きは予測できるのですが、(r1,r2,r3...)の組み合わせは無限にあるので、はたして全部予測できるかどうかは、やってみなければ判りません。今のところ、確実に言えることは、「ある程度は予測できる」と言うことです。





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