双曲線関数

双曲線関数(Hyperbolic function）については、正直言って何も知らないのですが、ベルヌーイ数が登場するので調べていたところ、計算問題としても簡単なことではなく、自分のために一ページ作って研究しなければならなくなりました。

私の研究目的はベルヌーイ数が登場する双曲線関数の式を求めることです。その式はすでに教科書などに載っていますが、自分で計算したところ、次のような結果になりました。

双曲線関数には　　sinh(x) cosh(x) tanh(x) そして、それぞれの逆数関数である　　　cosech(x) sech(x) coth(x)　　　があります。逆数関数は　sinh^-1(x)　などと表記することが可能ですが、一般にはこれを逆関数の意味で使っているので、非常に紛らわしくなっています。^-1　は逆数の意味で使うべきであって、逆関数の印にするのは間違いです。慣例になっている表記は止めて貰いたいと思います。

さて、ここでは逆関数は取り上げません。

sinh(x) = (e^x-e^-x) / 2　　　cosh(x) = (e^x+e^-x) / 2　　　tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)　　　という非常に綺麗な式で表せます。

cosech(x)　は　csch(x)　と表記する場合もありますが、cosech(x) = 2 / (e^x-e^-x)　　　sech(x) = 2 / (e^x+e^-x)　　　coth(x) = cosh(x) / sinh(x) 　です。



sinh(x) と　cosech(x) を図示したものが右図です。非常に綺麗な線になっています。これを級数のやり方で分析したところ、sinh(x) = e^x/2 - 1/2e^x　という結果になりました。しばらく考えていて、これがもとの式と同じことに気が付き、ひどくがっかりしました。なぜ目的の　x + x^3/3! +x^5/5! + . . .　　が得られないのかと考えたところ、x→0　にしなかったからであることがわかり、x→0　で計算したところ、sinh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + . . . 　を得ることができました。cosech(x)も同様に x→0　で計算したところ　cosech(x) = 1/x - x/6 + 7x^3/360 - 31x^5/15120 + 127x^7/604800 - . . . 　　　となります。



cosech(x)　の式をベルヌーイ数で表記してみると　cosech(x) = - Σ[r=0,∞] 2*(2^(r-1)-1)*B(r)*x^(r-1) / r!　となります。判りやすく書いてみると　　- { B(0)/x + B(2)x/1 + 7*B(4)/12 + 31*B(6)*x^5/180 + 2*127*B(8)*x^7/8! + . . . }　となります。

Σ以下のところを解説すると　B(1)のところは (2^0-1)=0 となり、奇数のB(r)は零なので、B(0)/x + B(2)*x + 7*B(4)/12 + . . .　と続きます。

ベルヌーイ数は解説者によって理解が異なるので困るのですが、私の場合は　B(0)=1, B(1)=-1/2, B(2)=1/6, B(3)=0, B(4)=-1/30, . . .　と並ぶベルヌーイ数です。


ちなみに、e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! + x^4/4! + . . . 　であり、e^(-x) = 1 - x + x^2/2 - x^3/3! + x^4/4! - . . . 　なので、計算せずに　　(e^x - e^(-x))/2 = x + x^3/3! + x^5/5! . . . 　が求められます。




cosh(x) と　sech(x) を図示したものが右図です。

x→0で計算すると　cosh(c) = 1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + . . . 　　　が求められます。この曲線は懸垂曲線と呼ばれているそうです。

sech(x) = 1 - x^2/2 + 5x^4/24 - 61x^6/720 + . . . 　　となります。ここにはベルヌーイ数は登場しないので、この程度にしておきます。






tanh(x) と　coth(x) を図示したものが右図です。

tanh(x)　を計算すると　tanh(x) = x - x ^3/3 + 2x^5/15 - 17x^7/315 + 62x^9/2835 - . . . 　　　となります。これをベルヌーイ数で表示すると　tanh(x) = Σ[r=2,∞] 2^r * (2^r-1) * B(r) * x^(r-1) / r! 　　　となります。

coth(x)の場合は　　coth(x) = 1/x + x/3 - x^3/45 + 2x^5/945 - x^7/4725 + . . . 　となり、これをベルヌーイ数で表示すると　　coth(x) = 1 + Σ[r=0, ∞] 2^r * B(r) * x^(r-1) / r! 　となります。

1　が付くのは、2*B(1)*x^0　を消すためです。









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